SINEASZ ™

akan membuka matamu tentang dunia

Peluang

huuaaa. . . .  :o

this is it, materi bab 2 kelas XI tentang Peluang 8)

menurutku bab ini lumayan , tapi lumayan apa?:idea: Lumayan susah apa lumayan mudah?

daripada bicara yang tidak jelas, langsung saja kita terjun ke TKP

Notasi Faktorial n ! = n(n – 1) (n -2) ……………… 1.

Definisi 0! = 1

PRINSIP DASAR (ATURAN PERKALIAN)

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n1 cara yang berlainan dan kejadian yang lain dapat terjadi dalam n2 cara yang berlainan maka kejadian-kejadian tersebut bersama-lama dapat terjadi n1.n2 cara yang berlainan.

Contoh:

Berapakah banyak bilangan-bilangan bulat positif yang ganjil terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7.

Jawab:

Sediakan 3 kotak, masing-masing untuk ratusan, puluhan dan satuan.

5

ratusan

5

puluhan

3

satuan

  • Tiap angka dapat diambil sebagai ratusan. Cara itu menghasilkan 5 kemungkinan.
  • Karena tidak diharuskan ketiga angka berlainan, maka tiap angka dapat diambil sebagai puluhan. Ada 5 kemungkinan lagi. Satuan hanya dapat dipilih dari 3, 5, 7 sebab harus bilangan ganjil . Ada 3 kemungkinan.
  • Maka banyak bilangan ada 5 . 5 . 3 = 75 bilangan.

Permutasi

Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc, acb, bac, bca, cab, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur.

Dalam contoh di alas: ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis 3P3 = 6
Secara Umum

Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah :

nPk = n! / (n-k) !

Contoh:

Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.

Jawab:

Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.

Maka banyaknya cara duduk ada :

7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
Permutasi Siklis

Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan.

Contoh:

Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?

Jawab:

Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

Kombinasi

Kombinasi k unsur dari n unsur adalah pemilihan k unsur dari n unsur itu tanpa memperhatikun urutannya.

nCk = n! / k!(n-k)!

Ada 6 kombinasi 2 unsur dari 4 unsur a, b, c, d yaitu ab, ac, ad, bc, bd, cd.

Contoh:

Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 5 putih.
Tentukan banyak cara untuk mengambil 4 bola dari kantong tersebut sehingga
a. Keempat bola tersebut terdiri dari 2 merah dan 2 putih.
b. Keempat bola tersebut warnanya lama.

Jawab:

  1. Untuk mengambil 2 dari 6 bola merah ada 6C2 cara, untuk mengambil 2 dari 5 bola putih ada 5C2 cara.Banyak cara untuk mengambil 4 bola terdiri 2 merah 2 putih adalah: 6C2 . 5C2 ® = 150 cara.
  2. 4 bola warna lama, jadi semua merah atau semua putih.
    Untuk mengambil 4 dari 6 bola merah ada 6C4 cara. Untuk mengambil 4 dari 5 bola putih ada 5C6 cara. Banyak cara mengambi 14 bola yang warnanya lama: 6C4 + 5C4 =15 + 5 = 20 cara.

Binonium Newton

Binonium Newton adalah uraian binonium (suku dua) dengan rumus :

(x+y)n = nC0Xn + nC1Xn-1y + ……. + nCnyn

Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi lengkap.

nCo = 1

nC1 = n!/1!(n-1)! = n

nC2 = n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/1.2

nCn-1 = nC1 = n/1 = n

nCn = 1
Catatan:

  • banyaknya suku ruas kanan adalah n + 1
  • rumus tersebut dapat juga ditulis sebgai berikut :
    n n
    (x+y)n = å nCk xn-k yk = å (n! / k! (n-k)!) xn-k yk
    k=0 k=0
  • Jika n kecil, koefisien binonium dapat dicari dengan segitiga pascal

Peluang Kejadian

DEFINISI

Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin.

P(A) = k / n

Dimana

k : jumlah terjadinya kejadian A
n : jumlah seluruh yang mungkin

Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel

Contoh:

1. Percobaan melempar uang logam 3 kali.
A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut.
Maka :
S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}
A = {mmb, bmm}
n(S) = 23 = 8
n(A) = 2
P(A) = 2/8 = 1/4

2. Percobaan melempar dadu satu kali.
A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap.
Maka :
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {2,4,6}
n(S) = 6
n(A) = 3
P(A) = 3/6 = 1/2

Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku
_
P(A) + P(A) = 1

Contoh:

Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King?

Jawab:

P (King) = 4/52 = 1/13
P bukan King = 1 – 1/13 = 12/13

Peluang Kejadian Bebas dan Tak Bebas

DEFINISI

Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika

P(AÇB) = P(A). P(B)

Contoh:

Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.
Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.
a) Keduanya berwarna putih
b) Keduanya berwama hitam

Jawab:

Misal
A = bola putih dari tas I
B = bola putih dari tas II

P(A) = 4/6
P(B) = 3/8
_                  _
P(A) = 2/6      P(B) = 5/8

a. P(AÇB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4
_        _         _      _
b. P((A) Ç P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24
DEFINISI

Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku :

P (AUB) = P(A) + P(B)

Contoh:

Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p).

Maka: S={(1,1), (1,2), …..,(1,6), (2,1),(2,2),…..(6,6)}
n(S) – (6)2 = 36

A : Kejadian muncul m + p = 6 ® {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}
n(A) = 5

B : Kejadian muncul m + p = 10 ® {(4,6), (5,5), (6,4)}
n(B) = 3

P(A) = 5/36        P(B) = 3/36

AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 ®
{ (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }
n(AUB) = 8

P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B)

A dan B kejadian yang saling asing.
DEFINISI

Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AÇB)

Contoh:

Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil =      { 1, 3, 5 } ® n(A) = 3/6
B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima =      {2, 3, 5} ® n(B) = 3/6

P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B)

A dan B kejadian yang tidak saling asing.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: